Odbor počítačové grafiky a geometrie

Mgr. Jana HODEROVÁ, Ph.D.

Tajemník pro oborové studium
hoderova@fme.vutbr.cz

tel.: +2800   A1/1827

Doporučená skripta pro předmět 1PG - Počítačová geometrie a grafika a 1KG - Konstruktivní a počítačová geometrie:

 

Pokyny ke zkoušce z 1PG a ukázková písemka - PDF

 

Příklady vhodné k přípravě na zkoušku z 1PG i 1KG (řešení a postupy jsou vyfocené z tabule, z Rhina nebo formou náčrtků):

Kinematika:
(epicykloida - PDF i s postupem) Prostá a prodloužená epicykloida z přednášky 1KG
(evolventa - PDF i s postupem) Evolventní pohyb je určen pevnou polodií p: x2+y2=202 a hybnou polodií h: y=-20. Sestrojte část trajektorie bodu A[0,-20] a v obecném bodě tečnu.

Tělesa v Mongeově promítání:
V MP je dána rovina beta(-50,50,45) a v ní body S[20,?,35] a A[0,?,10].
a) (čtverec - PDF) Sestrojte čverec ABCD s vrcholem A a středem S ležící v rovině beta.
b) Sestrojte pravidelný 4boký hranol s dolní podstavou ABCD a výškou v=80.
c) (jehlan - PDF i s postupem) Sestrojte pravidelný 4boký jehlan s podstavou ABCD a výškou v=80.

V MP je dána rovina alpha(60,50,60) a v ní bod S[-10,35,?].
a) (kružnice - PDF) Sestrojte sdružené průměty kružnice se středem S a poloměrem r=30.
b) (válec - PDF i s postupem) Sestrojte rotační válec s dolní podstavou v rovině alpha, středem S, poloměrem r=30 a výškou v=70.
c) Sestrojte rotační kužel s výškou v=70.

Tělesa v kolmé axonometrii:
V kolmé axonometrii dané axonometrickým ΔXYZ(120,100,110) jsou dány body A[45,20,0], S[0,40,0].
a) (čtverec - PDF) Sestrojte čtverec ABCD ležící v půdorysně, čtverec má vrchol A a střed S.
b) Sestrojte pravidelný čtyřboký hranol s dolní podstavou ABCD a výškou v= 120.
c) Sestrojte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s výškou v= 120.

V kolmé axonometrii dané axonometrickým ΔXYZ(120,90,110) je dán bod S[60,80,0]. 
a) (kružnice - PDF) Sestrojte kružnici se středem S a poloměrem r=60 ležící v půdorysně.
b) Sestrojte rotační válec s dolní podstavou v půdorysně a výškou v= 120.
c) Sestrojte rotační kužel s výškou v= 120.

(hranol s podstavou v bokorysně - PDF i s postupem) V kolmé izometrii sestrojte pravidelný šestibohý hranol s podstavou v bokorysně (jsou dány body S=S3 a A=A1 dle obrázku) a výškou v=110.

Řezy těles (ke zkoušce je potřeba umět řez jehlanu i hranolu jak v Mongeově promítání, tak v kolmé axonometrii):
(řez jehlanu - PDF, náčrtky s postupem) V MP sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s podstavou ABCD v půdorysně rovinou alpha(-80,80,50). A[30,0,0], C[-30,80,0], v=80.
(řez hranolu - řešeno v Rhinu) V pravoúhlé izometrii je zadán pravidelný šestiboký hranol o výšce v=70. Jeho podstava ABCDEF o středu S[-10,0,0] a vrcholu A[0,0,50] je v nárysně. Sestrojte řez hranolu rovinou (nekonečno,30,70).

Průsečík přímky s tělesem (ke zkoušce umět průsečík přímky s jehlanem, kuželem a hranolem jak v Mongeově promítání, tak v kolmé axonometrii):
(průsečík přímky s jehlanem - řešeno v Rhinu) V pravoúhlé axonometrii určené axonometrickým ∆XYZ(100,120,110) zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan  s vrcholem V[20,40,100] a podstavou ABCD v půdorysně, A[0,0,0]. Sestrojte průsečíky přímky a=KL s povrchem jehlanu, K[-50,30,0], L[60,60,75]. 
(průsečík přímky s hranolem) V kolmé axonometrii XYZ(60,70,80) určete průsečík přímky KL s pravidelným čtyřbokým hranolem ABCDA’B’C’D’ s podstavou ABCD v půdorysně a výškou v=80. A[50,0,0], C[10,30,0], K[70,15,0], L[10,40,50].

Šroubovice:
(MP - šroubování o posunutí - PDF s postupem) V MP je dán levotočivý šroubový pohyb osou o kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Vyšroubujte bod A[-40,20,30]nahoru o posunutí d=50 do bodu B. V Bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.
(MP - šroubování o posunutí) V MP je dán levotočivý šroubový pohyb osou rotace kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Odšroubujte bod A[-20,10,30] do bodu B o posunutí d=60. V bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.​
(MP - šroubování o úhel - PDF s postupem) V MP je dán pravotočivý šroubový pohyb osou o kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Vyšroubujte bod A[30,80,15] nahoru o úhel \(\varphi=150^\circ\) do bodu B. V Bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.
(MP - šroubování o úhel) V MP je dán šroubový pohyb osou rotace kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Vyšroubujte bod A[30,60,0] pravotočivě do bodu B o úhel 120 stupňů. V bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.​
(MP - jeden závit šroubovice - PDF s postupem) V MP je dán pravotočivý šroubový pohyb osou o kolmou k půdorysně, kde o1[0,40,0] a výškou závitu v=120. Zobrazte jeden závit šroubovice, je-li dán bod A[40,40,0] a v obecném bodě šroubovice sestrojte tečnu.
(kolmá axon. - šroubování o posunutí - PDF s postupem) V kolmé axonometrii dané axonometrickým trojúhelníkem ΔXYZ(70,60,80) je dán levotočivý šroubový pohyb osou rotace o=z a redukovanou výškou závitu v0=20. Vyšroubujte směrem nahoru bod A[-40,20,30] o posunutí d=40 do bodu B. V Bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.
(kolmá axon. - šroubování o úhel - PDF s postupem) V kolmé axonometrii ΔXYZ(90,80,100) je dán levotočivý šroubový pohyb osou o=z a redukovanou výškou závitu v0=40. Vyšroubujte bod A[0,40,0] nahoru do bodu B o úhel φ=105o. V bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.
(kolmá axon. - šroubování o úhel i posunutí - PDF s postupem) V kolmé izometrii je dán levotočivý šroubový pohyb osou rotace o=z a redukovanou výškou závitu v0=20. Je dán bod A[0,50,30]. a) Určete bod B, který vznikne odšroubováním bodu A do půdorysny. V bodě B sestrojte tečnu ke šroubovici.
b) Určete bod C, který vznikne vyšroubováním bodu A nahoru o úhel 
φ=120o. V bodě C sestrojte tečnu ke šroubovici.

Šroubové plochy:
(výpočet - osová cyklická pravotočivá šr. plocha) 
Určete parametrické rovnice osové cyklické pravotočivé šroubové plochy, která vynikne šroubovým pohybem daným  osou o=z a výškou závitu v=100. Tvořící půlkružnice má střed S[50,0,0] a poloměr r=20.
(výpočet - normální cyklická pravotočivá šr. plocha) Určete parametrické rovnice normální cyklické pravotočivé šroubové plochy, která vynikne šroubovým pohybem daným osou o=z, výška závitu v=150. Tvořící kružnice má střed S[50,0,0] a poloměru r=20.
(MP - cyklická šroubová plocha (o posunutí)) V Mongeově promítání je dána levotočivá normální cyklická šroubová plocha osou rotace kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Vyšroubujte tvořící kružnici k(S[-40,40,15], rk=20) o posunutí d=45. Poznámka: Úkol se dal formulovat i jinak – určete řez normální rovinou ρ(∞,∞,60).
(MP - uzavřená pravoúhlá přímková šroubová plocha (o úhel)) V MP je dána pravoúhlá uzavřená přímková pravotočivá šroubová plocha osou rotace kolmou k půdorysně, o1[0,40,0] a redukovanou výškou závitu v0=20. Tvořící křivkou je úsečka AB, kde A[40,30,0], B[0,40,0]. Určete řez plochy osovou rovinou \(\sigma(\infty,40,\infty)\). Poznámka: Úkol se dal formulovat i jinak - odšroubujte úsečku AB o úhel \(\varphi\).

Rotační plochy:
(výpočet - jednodílný hyperboloid) Určete parametrické rovnice plochy, která vznikne rotačním pohybem úsečky AB kolem osy o=z. A[50,-10,-10], B[50,40,60].
(řez paraboloidu - fotka tabule s postupem) V Mongeově promítání sestrojte řez rotačního paraboloidu rovinou α(-40,∞,45). Paraboloid je dán osou rotace kolmou k půdorysně, o1[0,65,0], jeho vrchol je V[0,65,60] a pro vyrýsování obrysu v nárysně volte parametr p=30.
(řez elipsoidu - fotka tabule s postupem) V Mongeově promítání sestrojte řez zploštělého elipsoidu rovinou β(-50,∞,70). Elipsoid má osu rotace kolmou k půdorysně, o1[0,65,0], střed elipsoidu má souřadnice [0,65,40], a=60, b=40.
(průsečík přímky s kulovou plochou - fotka tabule s postupem) V Mongeově promítání určete průsečík přímky KL s kulovou plochou, která je dána středem S[0,50,45] a poloměrem r=45. K[30,10,0], L[-60,90,80].
(řez koule - fotka tabule s postupem) 
V MP je dána kulová plocha středem S[0,45,40] a poloměrem r=40. Sestrojte nejméně 4 body řezu rovinou α(-60, ∞,50). Určete také body přechodu viditelnosti.
(řez koule a určení hl. osy křivky řezu - fotka tabule s postupem) V MP je dána kulová plocha středem S[0,45,40] a poloměrem r=40. Sestrojte nejméně 4 body řezu rovinou α(-60, ∞,50), dále pak hlavní vrcholy elipsy v řezu a určete také body přechodu viditelnosti.
(řez kuželu - fotka z tabule s postupem) V MP je dána rotační kuželová plocha s podstavou v půdorysně. Je dán její střed S[0,50,0], poloměr r=50 a výška v=90. Sestrojte nejméně 3 body řezu rovinou β(60,70,∞). Určete také body přechodu viditelnosti.
(řez paraboloidu -  fotka z tabule s postupem) V MP je dán rotační paraboloid osou kolmou k půdorysně, o1[0,60,0], vrcholem V[0,60,65] a parametrem p=18. Určete nejméně 4 body řezu rovinou β(-60,80, ∞) a také bod přechodu viditelnosti.

 

Rozvinutelné plochy (nebudou u zkoušky):
(válec s řezem) Rozviňte do roviny plášť rotačního válce s řezem. Dolní podstava válce leží v půdorysně a má střed S[0,50,0], poloměr r=40, v=80, α(-70,∕,30) je rovina řezu.
(kužel s řezem) Rozviňte do roviny plášť rotačního kužele s řezem. Podstava je v půdorysně, má střed S[0,45,0] a poloměr r=40, výška je v=80. β(-50,∕,30) je rovina řezu.
(síť kosého válce) Proveďte komplanaci pláště kosého kruhového válce. Dolní podstava leží v půdorysně, má střed S[40,40,0] a poloměr r=30 a horní podstava má střed S’[-40,40,70] a r’=r.
(síť šikmého kuželu) Proveďte komplanaci pláště kosého kužele. Kruhová podstava leží v půdorysně, má střed S[30,45,0] a poloměr r=40. Vrchol V[-40,45,100].

Početní příklady (doporučené k procvičení):

(výpočet křivosti křivky, poloměru křivosti, středů hyperoskulačních kružnic)
Elipsa je dána středem S[0,0], hlavním vrcholem A[-60,0] a vedlejším vrcholem C[0,30].

(výpočet tečny ke křivce)
Šroubovice je dána parametrickými rovnicemi x=40cos(t), y=40sin(t), z=20t, 0<=t<=2pi.

(matice složené transformace, bodová funkce křivky)
V rovině je dán bod A[0,-25] a jeho pohyb je dán transformací složenou z otáčení kolem počátku souřadnic o úhel -t, které je následováno posunutím o vektor v=(10t,0), kde 0<=t<=2pi.

 

 

1PG - Počítačová geometrie a grafika - cvičení:

Poznámky ze cvičení 1PG:

 

1KG - Konstruktivní a počítačová geometrie:

Příklady ze cvičení 1KG:

3. týden - příklady ze cvičení 1KG
(pětiúhelník) V Mongeově promítání (=MP) sestrojte pravidelný pětiúhelník ABCDE ležící v rovině α(-75,75,60). Je dán střed pětiúhelníka S[0,35,?] a vrchol A[-30,45,?] ,?] (viz skripta Obr. 5.25, 5.26).
(jehlan) V MP sestrojte pravidelný čtyřbohý jehlan ABCDV s podstavou ABCD ležící v rovině ß(60,40,50). Je dán vrchol podstavy A[-40,?,60] a vrchol V[40,100,90].

4. týden - příklady ze cvičení 1KG
(válec) V Mongeově promítání sestrojte rovnostranný válec (tj. v=2r). Je dán střed horní podstavy S'[50,80,90] a dolní podstava leží v rovině α(60,40,60).

3.-4. týden - doporučené příklady k procvičení
(hranol) V Mongeově promítání zobrazte  pravidelný 4-boký hranol ABCDA'B'C'D' s podstavou ABCD v rovině α(-60,60,90). Jsou dány vrcholy A[-20,25,?],  B[30,?,35] a výška v=100 (viz skripta Obr. 7.20).
(krychle) V Mongeově promítání zobrazte krychli ABCDA'B'C'D'. Je dán vrchol A[-20,50,35] a přímka KL, která prochází středy podstav ABCD a A'B'C'D'. K[40,50,60], L[-30,20,0] (viz skripta Obr. 5.23, Obr. 5.21, Obr. 5.25, Obr. 5.24).
(řez jehlanu) V Mongeově promítání určete řez pravidelného 4-bokého jehlanu ABCDV s podstavou ABCD v půdorysně rovinou ß(100,90,60). A[-10,10,0], B[20,65,0], výška jehlanu je v=100 (viz skripta Obr. 5.21, středová kolineace Obr. 7.26).
(kružnice) V Mongeově promítání zobrazte kružnici opsanou trojúhelníku ABC. A[-10,40,10], B[40,60,20], C[10,10,60] (viz skripta Obr. 5.17b), Obr. 5.25b), Obr. 5.31).
(kužel) V Mongeově promítání zobrazte rotační kužel s podstavou γ (50,50,70). Je dán střed S[-15,30,?], poloměr r=40 a výška v=80 (viz skripta Obr. 5.31, Obr. 5.24).

5. týden - příklady z přednášky a ze cvičení 1KG
(cykloida) Zobrazte část trajektorie bodu A[0,-20] a bodu C[0,-35] při cykloidálním pohybu. Pevná polodie je dána rovnicí p: y=-20, hybná polodie h: x2+y2=202. V obecných bodech trajektorií sestrojte tečny (viz skripta Obr. 9.20).
(evolventa) Evolventní pohyb je určen pevnou polodií p: x2+y2=202 a hybnou polodií h: y=-20. Sestrojte část trajektorie bodu A[0,-20] a v obecném bodě tečnu (viz skripta Obr. 9.21).
(epicykloida) Je dán epicykloidální pohyb hybnou polodií h se středem Oh[0,0] a poloměrem rh=15 a pevnou polodií p se středem Op[?,0] a poloměrem rp=40. Sestrojte trajektorie bodů A[-15,0], B[10,0], C[-25,0] a v jejich obecných bodech tečny (viz skripta Obr. 9.22).

6. týden - křivky v Maple
kinematika.mw - v softwaru Maple si otevřete tento soubor a postupujte krok za krokem